Matematik

  • Cebirin Temel Teoremi İçin Dört İspat

    Yazar: Carl Friedrich Gauss
    Çevirmen: Gülnihal Yücel

     

    Matematikçilerin prensi ve “antik çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi” olarak anılan Carl Friedrich Gauss’un sayılar teorisi, analiz, diferansiyel geometri, jeodezi, manyetizma, astronomi ve optik alanlarında önemli bilimsel katkıları vardır. Bu kitap, okurların Gauss’u doğrudan tanımalarına, gelişimini görmelerine, Gauss hakkında konuşulanların değil, Gauss’un kendisinin ve yapıtlarının duyulmasına olanak sağlamaktadır.

    Gauss, 1799’da bitirdiği doktora tezinde cebirin temel teoreminin bir kanıtını sundu. Bu çok önemli teorem, karmaşık sayılar üzerine tanımlanmış her polinomun en az bir kökü olduğunu söyler. Gauss’tan önce pek çok matematikçi bu teoremi kanıtlamayı denemiş, ama hiçbir kanıt genel kabul görmemişti. Gauss’un kanıtına da, o zamanlar henüz kanıtlanmamış olan Jordan eğri teoremini kullandığı için itiraz edildi. Bu itirazlar üzerine Gauss, hayatı boyunca üç değişik kanıt daha sunacak, 1849’daki son kanıtı tüm matematikçilerden kabul görecekti. Gauss bu kanıtlar üzerinde çalışırken, karmaşık sayılar kavramının olgunlaşmasına çok büyük katkıda bulundu.

    Gülnihal Yücel, (1968-2013) Ankara’da doğdu. 1987 yılında Alman Lisesi’nden mezun oldu. Lisans eğitimini Boğaziçi Üniversitesi Matematik Bölümü’nde, yüksek lisans eğitimini ise Bilkent Üniversitesi Matematik Bölümü’nde tamamladı. Boğaziçi Üniversitesi Matematik Bölümü’nde öğretim görevlisi olarak çalıştı. Daha önce Carl Friedrich Gauss’un Eğri Yüzeylere Dair Genel Araştırmalar (Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi, 2012) isimli eserini Türkçeye kazandırmıştı.

     

    D&R'DAN SATIN AL IDEFIX'TEN SATIN AL
    Hızlı Görüntüle

  • Eğri Yüzeylere Dair Genel Araştırmalar

    Yazar: Carl Friedrich Gauss
    Çevirmen: Gülnihal Yücel

     

    Yüzeyler teorisinin doğuşunu, yeryüzü ölçümlerine (jeodezi) borçluyuz. Ticari, mali, idari, askeri nedenlerden ötürü, 18. yüzyılda önemli ölçümler yapılmış, jeodezi gelişmiş, teorik bir yapı üzerine inşa edilebilecek olgunluğa erişmişti. Gauss, 9 Ekim 1825 tarihinde Heinrich Wilhelm Matthias Olbers’e gönderdiği mektubunda yüksek jeodezinin küçük bir bölümünü, yani eğri yüzeylerle ilgili bölümünü yazmaya başladığını anlatır. Olbers’e bahsettiği bölüm, “Neue allgemeine Untersuchungen über die krummen Flächen” adını verdiği ve Disquisitiones’in taslağı olan Almanca bir yazıdır. Allgemeine Untersuchungen’da Gauss yüzeyin eğik düzlemlerle kesişimini inceler ve Meusnier Teoremini ispat eder; ön hazırlıklardan hemen sonra da en kısa çizgiler hakkında araştırmalarına başlar. Disquisitiones’de ise Meusnier Teoremi yoktur ve en kısa çizgiler, yay uzunluğu bahsinden sonra ele alınmıştır.

    Disquisitiones’in asıl konusu yüzeylerin genel teorisidir ve Gauss’un bu teoriyi kurması uzun zaman almış ve amacına yorucu uğraşlardan sonra erişebilmiştir. Disquisitiones 1 Mart 1827’de hazır olmuş ise de Göttingen Bilimler Cemiyeti’ne sunulması 8 Ekim 1827’ye kadar gecikmiş, yayımlanması ise 1828’i bulmuştur. Disquisitiones sadece yüzey teorisiyle ilgili olmayıp, matematiğin başka dallarına da etki yapmış bir eserdir. Gauss’un bir matematikçi olarak büyüklüğünü gösteren Disquisitiones, kuadratik diferansiyel formlar hakkında yapılmış ilk çalışmadır. Elinizdeki kitap, Gauss’un “Disquisitiones Circa Superficies Curvas” (1827) ve “Neue allgemeine Untersuchungen über die krummen Flächen” (1825) adlı makalelerini bir araya getirmektedir.

     

    D&R'DAN SATIN AL IDEFIX'TEN SATIN AL
    Hızlı Görüntüle

  • Principia Mathematica

    Yazar: Kurt Gödel
    Çevirmen: Özge Ekin

    ve İlişkili Dizgelerin Biçimsel Olarak Kararlaştırılamayan Önermeleri Üzerine – I

    5-7 Eylül 1930 tarihlerinde, Königsberg’te, Empirik Felsefe Çevresi tarafından düzenlenen bir konferansta Kurt Gödel iki konuşma yapar. İlk konuşması doktora tezinin bir özeti ve Hilbert’in çalışmalarının uzantısı olan eksiksizlik kuramının birinci basamak yüklem hesabı için doğrulanması üzerine olur. Konferansın sonlarına doğru ise asıl önemli olan saptamasını aktarır: Principia Mathematica ve benzeri aksiyomatik sistemlerde biçimsel olarak kararlaştırılamayacak önermeler vardır… Elinizdeki bu çeviri, Gödel’in, konferansa damgasını vuran konuşmasının 1931’de yayımlanmış özgün metnini sunmaktadır.

    Bu makalenin sonuçlardan sonra matematiğin yönünde bir sapma görülmüştür. Hilbert’in programının başarılı olamayacağı bir genel kanı haline gelmiştir. Diğer bir deyişle, Gödel, Hilbert’­in ortaya attığı analiz yöntemlerini temel alarak Principia Mathematica gibi matematik sistemlerinin tutarlı iseler, tutarlılıklarının kendi içindeki aksiyomlar ve çıkarım kurallarıyla ispatlanamayacağını göstermiştir.

     

    D&R'DAN SATIN AL IDEFIX'TEN SATIN AL
    Hızlı Görüntüle

  • Gödel Kanıtlaması

    Yazar: Ernest Nagel, James R. Newman
    Çevirmen: Bülent Gözkân

     

    ‘Gerçek’ matematikçilerin uğraştığı ‘gerçek’ matematiğin neredeyse tamamen yararsız olduğu söylense de saf matematikle uğraşan Gottlob Frege, Georg Cantor ve Richard Dedekind herhangi bir yararlı makine icat etmemişler ama Batıda yeni bir düşünme tarzının temellerini atan bir araç sağlamışlardır.

    Çağlar boyunca matematiğin kesinlik, tutarlılık, tamlık gibi ideal beklentileri eksiksizce karşılayan bir bilim olduğu düşünüldü. Kesinlik, tutarlılık, tamlık gibi niteliklerin matematiğe yüklenmesinin en önemli nedeni, matematiğin aksiyomlardan türetilen doğru önermelerinin, yani teoremlerin kesin olarak kanıtlanabilir olmasıydı. Matematiğin teoremlerinin doğru iseler, doğrulukları kesinlikle kanıtlanabilen, doğru değilseler de, yine doğru olmadıkları kesin olarak kanıtlanabilen önermeler oldukları, dolayısıyla matematikte kesinlik ve tutarlılığın tam olarak egemen olduğı kabul edilmişti.

    Gödel’in kanıtlaması bu kabullerin ve beklentilerin doğru olmadığını yine matematikten yola çıkarak kesin olarak kanıtlamıştır. Whitehead ve Russell’ın matematiğin mantıksal temelleri konusundaki dev çalışması olan Principia Mathematica’yı ele alarak temellerin hep eksik kalacağını göstermiştir. Yani doğal sayılar aritmetiğini kapsayan bir biçimsel dizgede öyle önermeler vardır ki, bunların ne doğru ne de yanlış oldukları kanıtlanabilir. Ayrıca Gödel, doğal sayılar aritmetiğini kapsayan bir biçimsel dizgenin tutarlılığının, bu dizgenin kendi içinde kanıtlanamayacağını da kanıtlamıştır. Gödel kanıtlamasının sonuçları matematiğin kendi içsel sınırlılıkları olduğunu ortaya koymuştur.

    Gödel kanıtlaması mantık ve matematiğin dışına taşan felsefi sonuçlara da sahiptir. Matematiğin ve matematiksel nesnelerin aslî doğası, matematikle mantığın ilişkisi, vb. felsefi meseleleri yeni bir tartışma zeminine taşımıştır. Ayrıca postmodernite üzerine düşünce üreten felsefeciler de Gödel’e sık sık gönderme yapmakta ve bütünselci yaklaşımlara yöneltilen eleştirilerde Gödel’in çalışmalarından da destek bulduklarını düşünmekteler.
     

    D&R'DAN SATIN AL IDEFIX'TEN SATIN AL
    Hızlı Görüntüle

  • Fen ve Mühendislikte Matematiksel Yöntem

    Yazar: Haluk Beker

     

    Uzun yıllar Boğaziçi Üniversitesi Fizik ve Elektrik Mühendisliği öğrencilerine verilen bir dersin notlarının genişletilmiş biçimi olan bu çalışmada kapsanan konular beş kitap olarak sunulmaktadır. İlk iki kitapta temel fonksiyonlar önce reel eksende sonra da kompleks düzlemde incelenmektedir. Sonraki iki kitapta ise lineer sistemler önce matrisler, sonra da diferansiyel denklemler yoluyla ele alınmaktadır. Beşinci ve son kitapta ise lineer vektör uzayları ve uygulamaları Dirac gösterimi ile sunulmaktadır. Lineer vektör uzayları daha önce yapılan her şeyi kapsayan ve onların derinlemesine anlaşılmasını sağlayan çok temel bir konudur. Kuantum fiziği ve Elektrodinamik gibi lineer teorilerin zorluklarını kolayca aşmanın yolu matematiğin bu dalına hakim olmaktan geçer.

     

    D&R'DAN SATIN AL IDEFIX'TEN SATIN AL
    Hızlı Görüntüle